| 講義科目 | 幾何数理工学 |
|---|---|
| 担当教員 | 増田 直紀 准教授 |
| キーワード | トポロジー,テンソル解析,位相,幾何,不変性 |
| 前提知識 | 微積分，線形代数，集合・位相，ベクトル解析に関する基礎事項 |
| 意義, 目的, 応用分野, etc. | 工学で取り扱う「実際におきる問題」の解決は，一筋縄ではいかないことが多い．解決の手段の一つとしては，まず，問題・現象の「本質をとらえる」，「わかるところから切り崩していく」ことからはじめることが考えられる．そんなときに役立つ「ものの見方」「手段」のいくつかを学ぶことが本講義の意義・目的である． トポロジーは「図形に連続な変形を施しても不変に保たれる性質を調べる学問」であるが，これを通じて不変性（本質）をとらえる「ものの見方」を学ぶ．また，ベクトル解析は 3 次元ユークリッド空間における空間的な量を取り扱うための便利な「手段」であったが，さらに一般の n 次元空間への拡張としてテンソル解析を学ぶ． トポロジー，テンソル解析の応用分野は，古典物理関連（力学，電磁気学，弾塑性論，流体力学）に限らず，情報幾何，計算幾何，力学系理論，制御理論，統計理論，数理計画法など数理情報の分野でも広く用いられている． |
| 講義の内容 |
A. 数理モデルの不変性と幾何学の精神 B. トポロジー（位相幾何学） 1. 位相空間 2. ホモトピー 3. 複体 4. ホモロジー C. テンソル解析 1．ベクトル空間の要素としてのテンソル 2．共変テンソル空間 3．対称テンソルと交代テンソル 4．テンソル密度と擬テンソル |
| 講義の進め方 | 「講義の内容」に沿って，前半はトポロジー，後半はテンソル解析に関する講義を行う．中間試験は主にトポロジー，期末試験は主にテンソル解析に関する試験を行う．また，演習を通じて理解を深めるために，「数理情報工学演習第一」において本講義に関連する内容の演習（約6回）が行われる． |
| 成績評価方法 | レポート，中間試験，期末試験 |
| コメント | 本講義は，数理情報工学コースでは限定選択科目 A グループに位置づけられている．もちろん，他学科の学生の参加も歓迎する． |
| 連絡先 | masuda＠mist.i.u-tokyo.ac.jp |